신장 트리

신장 트리

• 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프
• 성립 조건 : 모든 노드가 포함되어 있고, 사이클이 존재하지 않아야 한다.

크루스칼 알고리즘

• 모든 도시를 연결할 때 최소한의 비용으로 신장 트리를 만드는 알고리즘
• 그리디 알고리즘으로 분류
• '최소 신장 트리 알고리즘'이라고도 불림
• 최소 신장 트리는 일종의 트리 자료 구조이므로, 최종적으로 신장 트리에 포함되는 간선의 개수가 '노드의 개수 - 1'과 같다는 특징이 있다.

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.

2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.

1. 사이클이 발생하지 않는 경우, 최소 신장 트리에 포함시킨다.
2. 사이클이 발생하는 경우, 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.

3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

 

구현

def find_parent(x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent[x])
    return parent[x]

def union_parent(a, b):
    a = find_parent(a)
    b = find_parent(b)
    if a<b:
        parent[b]=a
    else:
        parent[a]=b

v, e = map(int, input().split())
parent=[0] * (v+1)

for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i

result = 0
edges = []

for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    edges.append((cost, a, b))

edges.sort()

for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    if find_parent(a) != find_parent(b):
        union_parent(a, b)
        result += cost

print(result)

 

시간 복잡도

O(ElogE)

간선의 개수 E

크루스칼 알고리즘에서 시간이 가장 오래 걸리는 부분이 간선을 정렬하는 작업 -> O(ElogE)

크루스칼 내부에서 사용되는 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도는 정렬 알고리즘의 시간 복잡도 보다 작으므로 무시